Aleksander Baurowicz urodził się 12 grudnia 1867 r. we Lwowie jako syn Wincentego i Karoliny z domu Pomianowskiej. W rodzinnym mieście ukończył gimnazjum klasyczne w 1886 r. Studia lekarskie odbył na Uniwersytecie Jagiellońskim w Krakowie. Dyplom doktora wszech nauk lekarskich uzyskał z wyróżnieniem 27 lutego 1872 r. W kwietniu tego roku wyjechał do Wiednia, gdzie uczęszczał na kursy prywatne w klinikach prof. laryngologii C. Störcka, profesorów otiatrii J. Grujera i A. Politzera oraz w Klinice Dermatologicznej prof. M. Kaposiego, a ponadto studiował bakteriologię. 1 października 1892 r. został elewem kliniki prof. C. Störcka, w której pracował ponad dwa lata, zajmując się badaniami anatomopatologicznymi. W opiniach profesorów podkreślano jego pracowitość, szybkie opanowanie wiedzy i szeroki zakres umiejętności fachowych. W maju 1894 r. wrócił do Krakowa i objął stanowisko asystenta Oddziału Laryngologicznego Szpitala Św. Łazarza, zaproponowane mu przez prof. Przemysława Pieniążka (szpital otwarto 1 czerwca tego roku). W 1896 r. habilitował się, jako drugi w kraju, w dziedzinie laryngologii na podstawie pracy pt. „O twardzieli (skleroma)”, wydanej nakładem autora w Krakowie w 1896 r. 22 maja 1896 r. wygłosił wykład habilitacyjny „O ośrodkach i nerwach krtaniowych ze względu na fonację”, opublikowany w czterech odcinkach w Przeglądzie Lekarskim (Przegl. Lek. 1896, 35, 17, 227-228; 19, 257-259; 20, 273-274; 22, 303-305). Docentem prywatnym laryngologii został mianowany 23 lipca 1896 r. Obok laryngologii zajmował się otiatrią i prowadził oddzielne kliniczne ambulatorium chorób uszu.

W roku 1900 przestał pracować w Klinice Laryngologicznej i prowadził prywatną lecznicę. Z Kliniką utrzymywał jednak łączność i na organizowanych przez prof. P. Pieniążka praktycznych kursach laryngologii dla lekarzy prowadził ćwiczenia i wykłady z zakresu badania i fizjologii górnych dróg oddechowych i narządu słuchu. Jego venia legendi została rozszerzona także na otologię specjalnym reskryptem Ministerstwa Oświaty i Wychowania z 6 maja 1906 r. 3 lutego 1908 r. otrzymał nominację na tytularnego profesora nadzwyczajnego laryngologii i otiatrii. W latach 1900–1919 mało poświęcał się praktycznej pracy klinicznej. 1 kwietnia 1919 r. został mianowany etatowym profesorem nadzwyczajnym laryngologii i otiatrii oraz kierownikiem Kliniki Otolaryngologicznej UJ. Jednoczenie Rada Wydziału Lekarskiego zobowiązała go do zapewnienia w Klinice warunków do pracy naukowej i dydaktycznej profesorowi nadzw. Franciszkowi Nowotnemu. Taki stan rzeczy rodził konflikty między profesorami. Aby je zlikwidować, komisja laryngologiczna Rady Wydziału Lekarskiego UJ decyzją z 11 marca 1920 r. oddzieliła laryngologię od otiatrii i podzieliła pomieszczenia oraz wyposażenie Kliniki na równe części, jak również zleciła prof. Baurowiczowi kierowanie Kliniką Laryngologiczną. Kierownikiem Kliniki Otiatrycznej został mianowany prof. F. Nowotny. Obejmując klinikę, z zapałem zainteresował się laryngologią operacyjną i w 1919 r. przeprowadził pierwszą laryngektomię całkowitą. Po śmierci prof. F. Nowotnego objął 1 stycznia 1925 r. kierownictwo całej Kliniki, którą prowadził do przejścia na emeryturę 31 października 1934 r. Zamieszkał wówczas w Żywcu, gdzie praktykował w swojej specjalności.